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  • Théorème d'isomorphisme de Banach

    Formulaire de report

    Théorème d'isomorphisme de Banach :
    • \(X,Y\) sont deux Espace de Banach
    • \(f:X\to Y\) est un Isomorphisme
      continu

    $$\Huge\iff$$
    • la bijection réciproque de \(f\) est continue


    Démonstration du théorème d'isomorphisme de Banach :

    \(L^{-1}\) est linéaire et bien définie.

    L'image réciproque d'un ouvert par \(L^{-1}\) est un ouvert par Théorème de l'application ouverte, ce qui donne la continuité.



    Exercices

    Soit \(K\) un compact de \({\Bbb R}^d\) et \(N\) une norme quelconque sur \(\mathcal C^0((K,{\Bbb R}),N)\). On suppose que :
    • \((\mathcal C^0(K,{\Bbb R}),N)\) est complet
    • pour toute suite de \((f_n)_{n\in\Bbb N}\) qui converge dans \((\mathcal C^0(K,{\Bbb R}),N)\) vers une limite \(f\), on a \((f_n)_{n\in\Bbb N}\) qui converge simplement vers \(f\) sur \(K\).

    Montrer que la norme \(N\) est équivalente à la norme infinie.

    D'après le Théorème d'isomorphisme de Banach, on n'a besoin que d'une seule majoration.

    On veut montrer que l'identité entre la norme \(N\) et la norme \(\lVert\cdot\rVert_\infty\) est continue par le Théorème du graphe fermé.

    Pour cela, on utilise le fait que la convergence pour ces deux normes implique la convergence simple, et on conclut par unicité de la limite.



  • Rétroliens :
    • Equivalence de normes
    • Espace de Hilbert
    • Théorème d'isomorphisme de Banach
    • Théorème du graphe fermé